Геометрическая прогрессия: формулы, свойства и примеры задач

Содержание:

• Основные уравнения геометрической прогрессии
• Визуализация членов геометрической прогрессии
• Практические задачи

Вообразите, что у вас имеется пробирка, содержащая бактерии, которые размножаются каждые два часа. Начальное количество бактерий составляет 10. Далее, процесс их роста будет происходить следующим образом:

• Исходное количество бактерий составляет 10 единиц.
• Спустя два часа количество бактерий составит 20, поскольку 10 умножить на 2 равно 20.
• Спустя четыре часа получится: 20 умножить на 2, что равно 40 бактериям.
• Через шесть часов получится 80 бактерий, если изначально было 40, и мы умножим это число на 2.

Каждые два часа число бактерий удваивается. Это явление является примером геометрической прогрессии. Давайте предоставим ему официальное определение.

Геометрической прогрессией называют ряд чисел, где каждое следующее значение получается путем умножения предшествующего на постоянный множитель, известный как знаменатель или коэффициент прогрессии.

В данной статье мы подробно изучим, что такое геометрическая прогрессия, её предназначение и причины стремительного роста чисел в её рамках. В завершение статьи вас ожидают практические задания, которые позволят лучше усвоить изученный материал.

Содержание

• Геометрическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждое последующее значение получается умножением предыдущего на постоянный коэффициент, называемый знаменателем прогрессии. Основные формулы, связанные с геометрической прогрессией, включают:

  1. Общее n-ное значение прогрессии можно выразить через первое значение и знаменатель: a_n = a_1 * q^(n-1), где a_n — n-ный член, a_1 — первый член, q — знаменатель, а n — порядковый номер члена.

  2. Сумма первых n членов такой прогрессии рассчитывается по формуле: S_n = a_1 * (1 — q^n) / (1 — q) при условии, что q не равен 1. Если q равен 1, то сумма равна просто n * a_1.

  3. Произведение n членов геометрической прогрессии можно вычислить с использованием формулы: P_n = (a_1^n * q^(n(n-1)/2)), где P_n — произведение первых n членов.

  Эти формулы позволяют эффективно работать с геометрическими прогрессиями и решать различные задачи, связанные с ними.

• График последовательности прогрессии
• Практические задачи

Основные уравнения геометрической прогрессии

Изучим ключевые формулы, связанные с геометрической прогрессией.

Используя формулу для общего члена прогрессии, можно определить любой элемент последовательности, имея информацию о первом члене и знаменателе. К примеру, это позволяет рассчитать количество бактерий в пробирке через 24 часа, если известно, что они делятся каждые два часа.

В общем представлении данная формула записывается следующим образом:

an = a1 × qn−1

В ней:

• an представляет собой n-й элемент прогрессии.
• a1 является начальным элементом прогрессии.
• q — это коэффициент прогрессии, который служит для определения разницы между двумя последовательными членами данной прогрессии.
• n — номер члена.

Давайте снова обратим внимание на наши бактерии и выясним, сколько их накопится в пробирке за 24 часа. В данном случае начальное количество бактерий будет первым элементом последовательности, а делитель — это количество часов, необходимое для их деления.

an = 10 × 2n−1

Бактерии размножаются каждые два часа, что позволяет им делиться 12 раз в течение суток. Мы хотим узнать значение 13-го члена этой прогрессии.

a13 = 10 умножить на 212 равно 10 умножить на 4096, что в итоге дает 40 960.

Следовательно, через 24 часа количество бактерий достигнет 40 960.

Важно!

Геометрическая прогрессия способна проявляться в двух формах: возрастающей или убывающей. В случае, когда знаменатель q превышает 1, наблюдается рост прогрессии, поскольку каждый новый член оказывается больше своего предшественника. Напротив, если q меньше 1, прогрессия начинает снижаться.

— арифметическая прогрессия, в которой каждое последующее число больше предыдущего.

— последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего.

Как вычислить сумму нескольких членов прогрессии? Самый очевидный способ — это определить нужные члены и сложить их. Однако такой метод подходит лишь для небольших прогрессий. Если же количество слагаемых достигает десятков, то ручное суммирование займет значительное время.

Задачу можно упростить, применив формулу для нахождения суммы первых членов прогрессии.

В ней:

• Sn обозначает сумму первых n элементов прогрессии.
• a1 — это начальный элемент последовательности.
• q — это величина, которая выполняет функцию знаменателя в прогрессии.
• n обозначает количество элементов, сумму которых требуется вычислить.

Следует подчеркнуть, что приведенная формула применима исключительно в тех ситуациях, когда знаменатель прогрессии не равен единице (q ≠ 1). В случае, если q = 1, сумма первых n членов вычисляется иным образом:

Sn = n ⋅ a1

В геометрической прогрессии квадрат любого элемента равен произведению его соседей. Это свойство называется характеристическим. Оно позволяет определить, представляет ли последовательность чисел собой геометрическую прогрессию.

На основе представленного утверждения можно возвести во квадрат второй элемент последовательности и перемножить первый и третий элементы этой прогрессии. В соответствии с характеристическим свойством, результат должен быть равным.

Читайте также:

Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается путём добавления постоянного величины, называемой разностью, к предыдущему. Эта разность может быть как положительной, так и отрицательной, что влияет на направление и характер прогрессии.

Основная формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

a_n = a_1 + (n — 1) * d,

где a_n — искомый n-й член, a_1 — первый элемент, d — разность, а n — порядковый номер элемента.

Сумма первых n членов прогрессии может быть вычислена по следующей формуле:

S_n = (n / 2) * (a_1 + a_n),

где S_n обозначает сумму первых n членов, a_1 — первый элемент, а a_n — последний из них.

Рассмотрим пример: пусть у нас имеется арифметическая прогрессия, состоящая из чисел 3, 7, 11, 15 и так далее. В этом случае первый элемент равен 3, а разность d составляет 4. Если нам нужно определить, каков будет 10-й член данной прогрессии, воспользуемся формулой:

a_10 = 3 + (10 — 1) * 4 = 3 + 36 = 39.

Таким образом, десятым элементом этой последовательности будет 39. Теперь определим сумму первых 10 членов. Последним элементом в этом случае будет a_10 = 39, и подставив значения в формулу для суммы, получим:

S_10 = (10 / 2) * (3 + 39) = 5 * 42 = 210.

Итак, сумма первых десяти членов данной арифметической прогрессии равняется 210.

В убывающей геометрической прогрессии, где модуль коэффициента q меньше единицы, каждый следующий член становится меньше предыдущего. Тем не менее, мы можем вычислить сумму этих членов, используя следующую формулу:

В ней:

• S∞ — это сумма бесконечного числа членов прогрессии.
• a1 — это начальный элемент последовательности.
• q представляет собой знаменатель прогрессии при условии, что абсолютное значение q меньше единицы.

Знаменатель геометрической прогрессии отражает, насколько каждый следующий элемент изменяется по сравнению с предыдущим — увеличивается или уменьшается. Для его вычисления можно воспользоваться такой формулой:

В ней:

• q — это величина, используемая в качестве знаменателя в прогрессии.
• an — это элемент последовательности.
• an+1 обозначает элемент, который следует за текущим членом прогрессии.

Предположим, что у нас имеется последовательность 2, 6, 18, 54. Чтобы определить её знаменатель, мы можем воспользоваться формулой и подставить в неё первый и второй элементы последовательности для вычислений.

Таким образом, знаменатель данной прогрессии составляет 3.

Зная один из элементов прогрессии и её знаменатель, мы можем определить первый член этой прогрессии. Для этого следует воспользоваться следующей формулой:

В которой:

• an — это признанный элемент прогрессии;
• q — знаменатель;
• a1 является начальным элементом прогрессии.

Давайте вновь обратим внимание на последовательность 2, 6, 18, 54. Предположим, что нам известен только третий элемент a3 = 18, а знаменатель мы определили в предыдущем примере. В этой ситуации у нас есть достаточная информация, чтобы вычислить первый элемент a1:

Таким образом, первый элемент прогрессии равен 2.

Важно!

Геометрическая прогрессия может иметь как восходящий, так и нисходящий характер. Когда знаменатель q превышает единицу (q > 1), прогрессия считается возрастающей, поскольку каждый следующий элемент оказывается больше предыдущего. В случае, если q меньше единицы (q < 1), прогрессия начинает убывать.

— последовательность, где каждый следующий элемент больше предыдущего.

— прогрессия, в которой значения последовательно уменьшаются.

Визуализация членов геометрической прогрессии

Давайте проанализируем расположение членов прогрессии в двумерной координатной системе. На оси X, которая горизонтальна, будут обозначены номера членов прогрессии n, в то время как на вертикальной оси Y будут представлены значения этих членов an. В таком случае, графиком данной прогрессии станет экспоненциальная функция.

Поведение графиков геометрических прогрессий зависит от значения знаменателя q. Если q больше единицы, график будет возрастать, в то время как при значении q между нулем и единицей он будет убывать. В случаях, когда q отрицателен, направление изменения графика также будет зависеть от его абсолютного значения.

• При условии, что q больше единицы, график демонстрирует экспоненциальный рост, где значения прогрессии возрастают, а кривая поднимается вверх.
• При условии, что q меньше нуля, график будет изменяться, колеблясь вверх и вниз, в зависимости от того, является ли номер члена четным или нечетным.

Обратим внимание на последовательность 3, 6, 12, 24, …, которая может быть описана формулой 3 × 2^(n−1).

Если мы отложим на горизонтальной оси X номера членов прогрессии n, а на вертикальной оси Y — соответствующие значения этих членов an, то график геометрической прогрессии будет представлять собой определённую функцию.

y = 3 × 2x−1

• При условии, что 0 < q < 1, график будет демонстрировать экспоненциальное снижение. Члены данной прогрессии будут убывать. Кривая будет приближаться к нулю, однако никогда не пересечет эту отметку.

Давайте проанализируем последовательность, которая убывает.

При нанесении на график значений геометрической прогрессии, по оси X будут отложены индексы членов прогрессии n, а по оси Y — соответствующие значения an. В результате, точки, представляющие члены геометрической прогрессии, займут определённые позиции на графике функции:

Практические задачи

Теперь у нас есть в арсенале все необходимые формулы и характеристики геометрической прогрессии, которые могут оказаться полезными при решении различных практических задач. Далее представлено три задания, каждое из которых сопровождается детальным разбором. Прежде чем взглянуть на ответ, постарайтесь решить их самостоятельно.

В геометрической прогрессии первый член обозначается как a1, и в данном случае он равен 3. Знаменатель прогрессии q составляет 2.

Для нахождения третьего члена a3 используем формулу:

a3 = a1 * q^(3-1) = 3 * 2^2 = 3 * 4 = 12.

Теперь найдем четвёртый член a4:

a4 = a1 * q^(4-1) = 3 * 2^3 = 3 * 8 = 24.

Таким образом, третий член прогрессии равен 12, а четвёртый — 24.

Решение

Общая формула для n-го элемента прогрессии представлена следующим образом:

an = a1 × qn−1

Применим её для вычисления a3 и a4. Для этого достаточно подставить известные значения и произвести необходимые расчёты.

Определим третий элемент последовательности (a3):

a3 = 3 × 2^(3-1) = 3 × 2^2 = 3 × 4 = 12

Давайте вычислим четвертый член последовательности (a4):

a4 = 3 × 24^(-1) = 3 × 23 = 3 × 8 = 24

Результаты: a3 равно 12, a4 равно 24.

Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, начнем с определения формулы для суммы первых n членов. В общем случае, сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = a_1 * (1 — q^n) / (1 — q),

где S_n — сумма первых n членов, a_1 — первый член прогрессии, q — знаменатель, а n — количество членов.

В данном случае, у нас есть:
— a_1 = 1,
— q = 3,
— n = 5.

Подставим эти значения в формулу:

S_5 = 1 * (1 — 3^5) / (1 — 3).

Сначала найдем 3^5:

3^5 = 243.

Теперь подставим это значение:

S_5 = 1 * (1 — 243) / (1 — 3) = (1 — 243) / (-2).

Теперь вычислим 1 — 243:

1 — 243 = -242.

Теперь подставим:

S_5 = -242 / (-2) = 121.

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 121.

Решение:

Сумма первых n элементов геометрической прогрессии выражается следующей формулой:

Вставим в уравнение данные, указанные в условиях задачи:

Ответ: сумма первых пяти элементов прогрессии S5 составляет 121.

Чтобы выяснить, представляет ли собой последовательность чисел 2, 6, 19, 57, 172 геометрическую прогрессию, необходимо проверить, существует ли постоянное отношение между последовательными членами.

Для этого найдем отношение каждого последующего члена к предыдущему:

1. \( \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( \frac{19}{6} \approx 3.1667 \)
3. \( \frac{57}{19} \approx 3 \)
4. \( \frac{172}{57} \approx 3.0158 \)

Поскольку отношения между членами последовательности не являются постоянными (разные значения), можно заключить, что данная последовательность не является геометрической прогрессией.

Решение:

Если внимательно взглянуть на ряд чисел 2, 6, 19, 57, 172, может показаться, что они растут с большой скоростью, напоминая геометрическую прогрессию. Однако давайте проанализируем их подробнее, применив характеристическое свойство.

Квадрат второго элемента прогрессии, равного a2 = 6, необходимо вычислить, а также следует умножить первый элемент a1 = 2 на третий элемент a3 = 19. Если полученные значения окажутся равными, то данная последовательность чисел сможет быть квалифицирована как геометрическая прогрессия.

Ответ: результаты варьируются, поэтому данная последовательность не представляет собой геометрическую прогрессию.

Если вам интересно узнать больше о программировании и коде, присоединяйтесь к нашему телеграм-каналу!

Читайте также:

• Арифметическая прогрессия представляет собой последовательность чисел, в которой каждое последующее значение получается путем прибавления постоянной величины, называемой разностью, к предыдущему элементу. Основные характеристики этой прогрессии включают её общее выражение, формулы для нахождения n-го члена, а также суммы первых n членов.

  Определение арифметической прогрессии можно сформулировать так: если a1 — это первый элемент, а d — постоянная разность, то n-й член последовательности может быть выражен через формулу: an = a1 + (n — 1)d. Здесь an обозначает n-й элемент прогрессии.

  Что касается суммы первых n членов, то она рассчитывается по следующей формуле: Sn = n/2 * (a1 + an), где Sn — сумма первых n членов, а a1 и an — соответственно первый и n-й элементы.

  Например, если у нас есть арифметическая прогрессия, начинающаяся с 3 и имеющая разность равную 2, то первые несколько членов будут: 3, 5, 7, 9 и так далее. С помощью вышеуказанных формул можно легко определить любой член последовательности и вычислить сумму первых n элементов.

• «Мне 47 лет, и я всё ещё размышляю о том, какой IT-курс мне следует пройти»: история карьерного роста топ-менеджера в области data science.
• Двоичная система счисления, также известная как бинарная, представляет собой метод представления чисел, основанный на использовании только двух символов: 0 и 1. Эта система является основой работы всех современных компьютерных технологий, так как информация в цифровых устройствах хранится и обрабатывается именно в таком формате.

  В бинарной системе каждое число формируется с помощью комбинации этих двух цифр. Например, число «101» в двоичной системе соответствует числу 5 в десятичной системе. Каждая позиция в двоичном числе имеет свое значение, которое является степенью двойки, начиная с нуля справа. Таким образом, первая позиция соответствует 2^0, вторая — 2^1 и так далее.

  Чтобы работать с двоичной системой, важно уметь преобразовывать числа между двоичной и десятичной системами. Для перевода из десятичной в двоичную необходимо делить число на 2 и записывать остатки от деления. Этот процесс продолжается до тех пор, пока результат деления не станет равным нулю. Полученные остатки записываются в обратном порядке. Обратный процесс, то есть перевод из двоичной в десятичную, требует сложения значений всех единиц в двоичном числе, взятых с соответствующими степенями двойки.

  Использование двоичной системы имеет множество применений, особенно в области программирования и цифровой электроники, где она позволяет эффективно обрабатывать информацию и управлять устройствами.