Логарифм: ключевые свойства и примеры решения задач

Содержание:

• Что такое логарифм
• Определение натурального логарифма: что это такое?
• Разнообразие логарифмических систем: десятичные и двоичные логарифмы
• Основные характеристики и уравнения логарифмической функции
• Методы самостоятельного решения логарифмических уравнений
• Методы вычисления логарифмов в Python

Перед тем как перейти к обсуждению, давайте обновим наши знания и решим несколько типичных задач.

• Чему равен log3 81?
• А lg 2 × lb 10?
• Сначала воспользуемся свойством логарифмов, которое позволяет складывать логарифмы с одинаковым основанием. Мы можем записать:

  log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3 = log₂₁₆ (2 * 3) = log₂₁₆ 6.

  Теперь необходимо найти значение log₂₁₆ 6. Поскольку 16 можно выразить как 2 в степени 4, мы можем переписать логарифм в следующем виде:

  log₂₁₆ 6 = log₂ (6) / log₂ (16).

  Теперь вычислим log₂ (16). Поскольку 16 = 2^4, то log₂ (16) = 4.

  Теперь подставим это значение в уравнение:

  log₂₁₆ 6 = log₂ (6) / 4.

  Таким образом, сумма log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3 равна log₂ (6) / 4.

Если вам удалось без труда решить все три задания в голове, не прибегая к калькулятору, можете смело переходить к финальной части. А тем, кто немного подзабыл школьные уроки, предлагается короткий пятиминутный ликбез.

Что такое логарифм

В сущности, логарифм можно рассматривать как обратное действие к возведению в степень. Например, возьмём уравнение 2^3 = 8. В этом уравнении:

• Два является основанием степени.
• Три — это значение показателя степени.
• Восемь — это итог операции возведения числа в степень.

Процесс возведения числа в степень имеет два обратных действия. Первое из них связано с определением основания, что осуществляется через извлечение корня, а второе — с поиском показателя степени, что осуществляется с помощью логарифмирования.

Следовательно, уравнение 23 = 8 можно преобразовать в логарифмическую форму, получив log2 8 = 3.

Закрепим полученные знания: логарифм представляет собой такое число, в которое необходимо возвести основание 2, чтобы получить в результате 8.

Запись может показаться неочевидной, и на первых порах легко перепутать основание и степень. Чтобы предотвратить такие ошибки, стоит воспользоваться следующим правилом:

В логарифме основание располагается в нижней части, подобно тому, как это происходит в случаях возведения в степень.

Для того чтобы более эффективно усвоить формат записи, обратите внимание на следующие фразы и постарайтесь осмыслить их значение:

• log3 9 = 2
• log4 64 = 3
• log5 625 = 4
• log7 343 = 3
• log10 100 = 2
• log2 128 = 7
• log2 0,25 = −2
• log625 125 = 0,75

В общем случае обозначение logAB интерпретируется как логарифм числа B с основанием A.

Определение натурального логарифма: что это такое?

Основным элементом любого логарифма является его база. Именно благодаря наличию единого основания у различных логарифмических функций возможно выполнение разнообразных операций с ними.

Число Эйлера, обозначаемое буквой e, представляет собой основание натурального логарифма. Это иррациональное число, которое примерно равно 2,71828.

Для начала уточним, что представляют собой иррациональные числа. Эти числа нельзя выразить в форме простой дроби, где как числитель, так и знаменатель являются целыми числами, при этом знаменатель должен быть отличен от нуля.

К примеру, 0,333… является рациональным числом, поскольку его можно представить в виде дроби 1/3. В отличие от него, такие числа, как Пи или корень из 2, относятся к иррациональным.

Поскольку натуральные логарифмы имеют широкое применение, была разработана специальная нотация для их обозначения: ln x эквивалентно loge x.

Предположим, что у нас есть кристалл с массой 1 кг, который увеличивается в размере на 100% ежегодно. На первый взгляд, можно предположить, что через год его масса составит 2 кг, однако реальность оказывается иной.

Каждая свежая часть кристалла будет инициировать процесс роста своей собственный. Когда масса кристалла достигнет 1,1 кг, его увеличение будет происходить с темпом 1,1 кг в год, а при достижении 1,5 кг — с тем же темпом 1,5 кг в год. Согласно расчетам математиков, через год вес кристалла составит e, что приблизительно равно 2,71828 кг.

Данный тип роста именуется экспоненциальным. Именно по этой модели происходит размножение бактерий, увеличение численности популяций, рост доходов, накопление снежных комьев, распад радиоактивных веществ и охлаждение напитков.

Для определения массы кристалла через три, пять или десять лет необходимо возвести число e в соответствующую степень времени.

e3 ≈ 20,0855 кг

e5 ≈ 148,4132 кг

e10 ≈ 22 026,4658 кг

Как же определить момент, когда масса кристалла достигнет одной тонны? Для этого необходимо сформулировать уравнение:

ex = 1000

Мы располагаем значением основания степени и результатом возведения в степень — теперь нам необходимо определить показатель степени. Это вызывает определенные ассоциации, не так ли? По сути, это и есть логарифм: x = loge 1000! Или, в сокращённой форме, можно записать как x = ln 1000.

Если провести расчёты в калькуляторе, то можно установить, что x приблизительно равно 6,9. Это и будет тем временем, необходимым кристаллу для достижения массы в одну тонну.

Разнообразие логарифмических систем: десятичные и двоичные логарифмы

Десятичный логарифм — это логарифм, основание которого составляет 10. Его принято обозначать как lg x. Этот вид логарифма особенно удобен, так как позволяет просто выполнять вычисления с круглыми числами.

Двоичный логарифм представляет собой логарифм с основанием 2. Он обозначается как lb x и находит широкое применение среди программистов, поскольку компьютеры обрабатывают и хранят информацию в двоичной системе счисления.

Основные характеристики и уравнения логарифмической функции

Перечень операций, доступных для работы с логарифмами, не так уж велик. Освоив все основные правила и научившись их применять, вы сможете решать логарифмические задачи с легкостью, словно щелкая семечки.

Логарифмы имеют определённые ограничения. Аргумент и основание логарифма должны быть положительными числами, при этом основание не должно равняться единице. В математической терминологии это формулируется следующим образом:

Давайте рассмотрим свойства логарифмов. Они функционируют в обеих направлениях, что позволяет использовать их как с левой стороны, так и с правой.

Логарифм числа один при любом основании неизменно равен нулю.

К примеру, логарифм по основанию 17 от 1 равен 0.

Логарифм, в котором число и основание совпадают, всегда равен единице.

К примеру, логарифм числа 17 по основанию 17 равен 1.

Основное логарифмическое тождество гласит, что логарифм числа по основанию равен степени, в которую это основание должно быть возведено, чтобы получить данное число. Это выражается формулой: если a — основание, b — число, то log_a(b) = c, где c — это степень, которую необходимо взять, чтобы a^c = b.

К примеру, логарифм по основанию 17 от 175 равен 5.

Логарифм от произведения двух чисел эквивалентен сумме логарифмов этих чисел.

К примеру: log5 12,5 + log5 10 можно преобразовать в log5 (12,5 × 10), что равняется log5 125, а это, в свою очередь, равно 3.

Логарифм отношения двух чисел можно выразить как разницу между логарифмами числителя и знаменателя.

К примеру, можно записать следующее выражение: log3 63 минус log3 7. Это равно log3 (63 делить на 7), что упрощается до log3 9, а в итоге равно 2.

6. В случае, когда основание или аргумент находятся в степени, их можно с удобством вынести за пределы логарифма:

Из приведённых двух уравнений можно сделать следующие выводы:

К примеру: log23 49 можно выразить как 9/3 умножить на log2 4, что равно 3 умножить на 2, и в итоге мы получаем 6.

7. В случае, если основание логарифма вызывает трудности, его можно заменить на более удобное.

К примеру, выражение log25 125 можно преобразовать следующим образом: log5 125 делим на log5 25. В результате мы получаем 3/2, что равно 1,5.

Из данной формулы можно сделать вывод о том, что основание и аргумент можно поменять местами следующим образом:

К примеру: log16 4 можно представить как 1/log4 16, что в свою очередь равно 1/2, что в итоге дает 0,5.

Методы самостоятельного решения логарифмических уравнений

Теперь мы вновь обращаемся к тем задачам, которые были представлены в начале статьи.

Пример 1

Помните, что 81 соответствует 92. А 9 равен 32. Следовательно:

log3 81 = log3 92 = log3 (32 + 2) = log3 34

Теперь логарифмы больше не вызывают у нас трудностей. Применим свойство степеней и выделим четвёрку.

log₃ 34 = 4 × log₃ 3 = 4 × 1 = 4

Ответ: 4.

Пример 2

Давайте преобразуем сокращенные записи в их полное выражение:

Уравнение lg 2 × lb 10 = log10 2 × log2 10 можно переписать, используя свойства логарифмов.

Сначала давайте вспомним, что lg и log10 обозначают один и тот же логарифм, основание которого равно 10, и что lb обозначает логарифм, основание которого равняется 2.

Итак, мы можем выразить уравнение в более привычных терминах:

log10(2) × log2(10) = log10(2) × log2(10).

Таким образом, обе стороны уравнения равны, и это равенство является верным благодаря свойствам логарифмов и их взаимосвязи.

Приведём оба логарифма к единому основанию.

log10 2 умножить на log2 10 равно 1, так как это можно представить как 1 деленное на log2 10, умноженное на log2 10. Это также равняется log2 10, деленному на log2 10, что в итоге дает 1.

Ответ: 1.

Пример 3

Давайте применим свойство сложения.

log₂₁₆ 2 + log₂₁₆ 3 можно объединить, используя свойства логарифмов. Это выражение эквивалентно log₂₁₆ (2 × 3), что в свою очередь равно log₂₁₆ 6.

Давайте представим число 216 в виде степени числа 6 и воспользуемся свойствами степеней для его упрощения.

log₂₁₆ 6 равняется log₆₃ 6 и это равно 1/3 умножить на log₆ 6, что, в свою очередь, равно 1/3 умножить на 1, что дает 1/3.

Ответ: 1/3.

Методы вычисления логарифмов в Python

Для того чтобы осуществлять операции с логарифмическими выражениями в Python, требуется сначала подключить модуль math.

Теперь мы можем вычислить log2 8 с помощью функции math.log(b, a):

Обратите внимание на два ключевых аспекта. Первое: сначала мы передаем аргумент функции, а затем указываем основание. Второе: вне зависимости от того, является ли результат целым числом, функция всегда возвращает значение в формате float.

Когда основание не указывается при вызове функции, логарифм принимается за натуральный по умолчанию.

Существуют уникальные подходы для вычисления как десятичных, так и двоичных логарифмов.

В Python существует особый метод, который увеличивает переданный аргумент на единицу и затем вычисляет натуральный логарифм от полученного значения.

В ситуациях, когда значение х стремится к нулю, этот подход обеспечивает более высокую точность по сравнению с функцией math.log (1+x). Проведите сравнение:

Это ключевые средства для манипуляций с логарифмами в Python.

Читайте также:

• Основы математики для начинающих: что стоит освежить в памяти перед интервью на позицию в области Data Science.
• Тест: насколько глубоко ты осведомлён о структуре интернета?
• ML-разработчик — это специалист, занимающийся созданием и внедрением алгоритмов машинного обучения. Его работа включает в себя анализ данных, разработку моделей, а также их тестирование и оптимизацию для решения различных задач.

  Основные обязанности ML-разработчика включают в себя предобработку данных, выбор подходящих моделей и алгоритмов, а также их обучение и оценку эффективности. Эти специалисты часто сотрудничают с другими командами, такими как аналитики данных и инженеры, для интеграции решений в существующие системы.

  Что касается заработка, то уровень дохода ML-разработчиков варьируется в зависимости от региона, опыта и компании. В среднем, специалисты в этой области могут рассчитывать на высокую зарплату, которая часто превышает средние показатели по IT-сектору, что обусловлено высоким спросом на их навыки и знания.